TRANSLASI

BAB II

GESERAN (TRANSLASI)

A.    Geseran Sebagai Transformasi

      Salah satu konsep yang penting dalam matematika bidang geometri adalah  transformasi. Sebelum mempelajari materi geseran atau translasi, perhatikan transformasi pada titik A(x, y)  pada gambar 1berikut.

Bayangan titik A(x, y) oleh

transformasi T menghasilkan

 bayangan dari titik A, yaitu

 titik A'(x', y'). Jika titik-titik

T5

yang ditransformasikan terletak

 pada suatu bangun geometri

maka akan terbentuk suatu

bangun baru yang bentuknya

 sama dengan bangun semula,

Hanya berbeda posisi. Jadi dapat

disimpulkan bahwa

Transformasi pada bangun geometri merupakan suatu aturan yang memindahkan suatu bangun geometri dari satu posisi ke posisi lain dengan tidak mengubah bentuk bangun tersebut. 

  Transformasi yang tidak mengubah ukuran dan bentuk bangun disebut transformasi isometri, di antaranya translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), dan rotasi (putaran). Adapun transformasi yang tidak isometri adalah  dilatasi (perkalian) karena ukuran bayangan dapat diperbesar atau diperkecil.

  Perlu di perhatikan bahwa dalam bidang dua dimensi kita dapat merubah posisi dan kedudukan bidang hal inilah yang disebut transformasi isometric,sementara jika kita ingin memperkecil ataupun bahkan memperbesar ukuran bidang maka transformasi ini di namakan transformasi dilatasi karena ukuran bidang bisa berubah ukuran baik itu di perbesar maupun diperkecil. Dalam konsep transformasi objek awal atau objek yang asli di sebut preimage sedangkan objek yang sudah mengalami transformasi di sebut image. Untuk lebih memahami beberapa konsep tersebut diatas perhatikan beberapa objek berikut ini.

·        

D

Geserean atau translasi

E

Pada gambar A dapat dilihat

bahwa objek preimage yang

dan image tidak mengalami

perubahan ukuran maupun

hanya letaknya saja yang

berbeda

·         Dilatasi

Pada gambar 1b tampak

bahwa antara objek pre

image dan objek image

mengalami perubahan

ukuran bentuk transformasi

Seperti ini di sebut dilatasi

·         Refleksi

pada gambar 1c tampak

bahwa objek preimage

dan objek image mengalami

perubahan posisi

transformasi seperti ini

disebut refleksi

·         Rotasi

A

Pada gambar 1d tampak

Bahwa objek juga mengalami

Perubahan posisi setelah

Di transformasi

Bentuk seperti ini di sebut

Rotasi atau perputaran

·        

	C
			B

B.     Pengertian Geseran Atau Translasi

    Pada subbab ini kita akan mempelajari konsep translasi. Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memetakan suatu titik pada titik lain sebagai bayangannya. Fungsi yang memetakan titik tersebut sepanjang sumbu-x (horizontal) dan dilanjutkan pada sumbu-y (vertikal). Translasi dinyatakan oleh pasangan terurut  dengan a merupakan komponen translasi pada arah sumbu-x dan b merupakan komponen translasi pada arah sumbu-y. Translasi dapat dibayangkan dengan memindahkan objek-objek di sekitar kita. Misalnya pada pemindahan meja A. pada gambar berikut

Pada Gambar 2, meja dipindahkan

 sepanjang  garis lurus sejauh 2 m ke

 kanan dan 1 m ke atas oleh suatu

translasi T =  sehingga meja A

berpindah ke meja A gambar 2 me

  mperlihatkan translasi sebuah meja

yang bermula diposisikan di titik mula

kemudian di geser ke posisi akhir

Dengan membayangkan meja adalah suatu titik pada  bidang koordinat Cartesius maka diperoleh Gambar 3Pada Gambar 3tampak, titik A(x,y) ditranslasikan oleh translasi T =  

X

sepanjang garislurus sejauh a satuan

A(x,y)

 ke kanan dan b satuan ke atas.

Bayangan dari titik A yang diperoleh titik A΄(x+a, y+b). Contoh tersebut

 memperjelas definisi berikut

Defenisi:

Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu. Jika titik A(x,y) ditranslasikan oleh translasi T =  maka diperoleh bayangan dari A, yaitu A΄(x΄, y΄) dengan  x΄ = x + a dan y΄ = y + b

Jarak dan arah ditunjukkan oleh vektor translasi. 

Vektor  translasi dpt ditunjukkan oleh bilangan. berurutan yang ditulis dalam bentuk matriks kolom  

Suatu translasi T dengan vektor translasi

. Mentransformasikan titik A ke A'

secara pemetaan dapat dituliskan :

T =  : A(x,y)  A' (x + a , y + b)

di mana

jika a > 0, maka arah pergeserannya adalah a satuan ke kanan (menuju x positif)

jika a < 0 maka arah pergeserannya adalah a satuan ke kiri (menuju x positif).

jika b > 0 maka arah pergeserannya adalah b satuan ke atas (menuju y positif).

jika b < 0 maka arah pergeserannya adalah b satuan ke bawah (menuju y positif).

Contoh:

Tentukanlah bayangan titik-titik A(3, 1) jika ditranslasikan oleh T = 

Jawab:

Untuk menentukan bayangannya, gunakan persamaan translasi berikut. x' = x + a  dan y' = y + b

Diketahui A(3, 1) dan T =maka x = 3, y = 1, y  a = 1, dan b = 2.

 Diperoleh  x' = x +  a = 3 + 1 = 4

                   y' = y + b = 1 + 2 = 3

Jadi, bayangan dari titik

 A(3, 1) jika ditranslasikan oleh T = adalah A^”(4,3)

C.    Rumus Geseran Dengan Metode Analitik

    Untuk memahami metode analitik dalam menentukan geseran maka perhatikan ilustrasi berikut ini. Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai 

Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai  

Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi  , diketahui tempat duduknya minggu ini pada titik N ^’(a-2,b+2).Kita dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan  maka diperoleh bayangannya  . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

Pada umumnya translasi juga dapat direpresentasikan dengan menggunakan bidang kartesius. Dengan menggunakan konsep yang sama seperti ilustrasi diatas misalkan sebuah objek mula-mula berada di kordinat A (x,y) jika objek tersebut berpindah sejauh a satuan ke kiri dan b satuan ke atas maka hasil kordinat akhir dari objek tersebut berada pada titik A^”((x-a),(y + b)) perhatikan bahwa tandanya tergantung arah objek tersebut bergerak jika bergerak ke kiri dan ke bawah maka tanda yang di pakai adalah kurang. Jika objek bergerak ke kanan dan ke atas maka kita menggunankan tanda penjumlahan karena ke arah positif.

Y

pada gambar 4 di sa

mping tampak bahwa

b

objek yang semula berada

a

di kordinat (x,y)

mengalami translasi sejauh

(-a) dan b dan kordinat

Akhir dari objek A^” adalah (x-a),(y+b)

Perhatikan tanda (-a) karena objek bergerak ke kiri sejauh a satuan untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Dengan metode analitik Tentukan bayangan titik M yang semula berada di kordinat (3,3) ditranslasikan sejauh .

Penyelesaian:

Dik: kordinta awal M = (3,3)

        Translasi sejauh .= .

          a = -2 dan b = -1

x

2

1

3

Dit: bayangan titik M

Jawab: dari sketsa diagram

Kartesius pada gambar 5di samping ini dapat di ketahui kordinat objek M^” terletak di titik (1,2) kordinat akhir ini diperoleh dari hasil pengurangan kordinat awal (3,3) denganm transalasi .dimana tanda negatif ini sesuai dengan defenisi sebelumnya menyatakan objek berpindah ke ruas kiri dan ke bawah dan hal tersebut terbukti.

D.    . Komposisi Dua Translasi

jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan  maka diperoleh bayangannya  . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kita peroleh dengan Didapat, Perhatikan bahwa  

Ini berarti  diperoleh dengan mentranslasikan   dengan  Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan

T2, yang ditulis sebagai  

Oleh karena  dan  maka 

Akibatnya, titik   ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan   sebagai berikut

Sifat:

·         Dua buah translasi berturut-turut  diteruskan dengandapat digantikan dengan translasi tunggal 

·         Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Contoh:

1.      Translasi memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a.       Tentukan translasi tersebut !

b.      Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6) oleh translasi tersebut.

c.       Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan Tentukan bayangannya!

d.      Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2  ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c?

Jawaban

a. 

            Diperoleh        1+p = 4 sehingga p = 3

                                    2+q = 6 sehingga q = 4

            Jadi translasi tersebut adalah 

b. translasi  artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C'dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)

c. 

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)

d.      translasi titik 

      

      

      

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.

Contoh:

Tentukan bayangan lingkaran (x-3)² + (y+1)² = 4 jika ditranslasikan !

Jawab

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)² + (y+1)² = 4 sehingga diperoleh (a-3)² + (b+1)² = 4 Translasikan titik P dengan   sehingga diperoleh 

Jadi titik P'(a-5, b+2)

Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat  b = b' - 2.

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

Diperoleh (a'+ 5-3)² + (b' - 2+1)² = 4

                  (a'+ 2)² + (b' - 1)² = 4

Jadi bayangan dari (a'+ 5-3)² + (b' - 2+1)² = 4 jika ditranslasikan denganadalah (a'+ 2)² + (b' - 1)² = 4

E.     Sifat-Sifat Translasi

Teorema 1:

Apabila garis AB = CD Maka A^”B^” = C^”D^” dimana A^”B^”  dan C^”D^”  merupakan hasil translasi AB dan CD

Bukti:

Jika X sembarang maka harus dibuktikan X(A^”B^”  ) = X(C^”D^”  )

Misalkan X(A^”B^”  ) = x₁ dan X(C^”D^”  ) = x₂

Xx₁ = AB, xx₂ = CD

Karena AB = CD maka Xx_{1 =} xx₂ = x₁ = x₂

Jadi terbukti A^”B^” = C^”D^”

Teorema 2:

Andaikan g dan h adalah dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah yang tegak lurus pada g dengan C  dan D  apabilah AB = 2CD maka A^”B^” = M_hM_g

Bukti:

F.     

P”

C”

Misalkan p sebuah titik sebarang, jika p^’ = (A^’B^’)P dan p^” = (M_hM_g)p maka harus dibuktikan p^’ = p^”

B

menurut ketentuan

geseran pp^’ = AB

C

karena AB = 2CD

maka pp^’ = 2CD

berhubung C^” = (M_hM_g)C

P

h

A

C maka C^”= (M_h)C

jadi,D adalah titik tengah

g

CC^” sehingga CC^” = 2CD

Gambar 6

oleh karena CC^” = pp^”

maka pp^” = 2CD = pp^”

ini berarti bahwa,p^’ = p^”

jadi( A^”B”)P = (M_hM_g)p karena p sebarang,maka A^”B” = M_hM_g

G.    Dari teorema 2 dapat kita simpulkan bahwa

Ø  Setiap geseran A^”B” dapat kita tulis sebagai hasil kali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan berjarak 

Ø 

Gambar 7

Jika AB adalah sebuah garis dan M titik tengah AB sedangkan g,h dan n adalah tiga garis masing-masing tegak lurus di A di M dan di B  Pada AB maka A^”B” = M_hM_g = M_hM_n

Ø 

h

n

g

oleh karena setiap geseran dapat ditulis sebagai

hasil kali dua refleksi,sedangkan suatu refleksi

merupakan suatu transformasi maka suatu

transformasi yang merupakan isometric

A

B

H

oleh karena suatu refleksi isometric

akibatnya suatu geseran pasti isometric sebab

setiap refleksi adalah isometri juga.

H.     

2.      Tentukan bayangan lingkaran (x-3)² + (y+1)² = 4 jika ditranslasikan !

3.      Jawab

4.      Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)² + (y+1)² = 4 sehingga diperoleh (a-3)² + (b+1)² = 4

5.      Translasikan titik P dengan   sehingga diperoleh 

6.      Jadi titik P'(a-5, b+2)

7.      Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.

8.      b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat  b = b' - 2.

9.      Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

10.  Diperoleh (a'+ 5-3)² + (b' - 2+1)² = 4

11.                    (a'+ 2)² + (b' - 1)² = 4

12.  Jadi bayangan dari (a'+ 5-3)² + (b' - 2+1)² = 4 jika ditranslasikan denganadalah (a'+ 2)² + (b' - 1)² = 4

I.        

J.