1. Peluang Suatu Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.
n(A)
P(A) = ———
n(S )
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S
Contoh :
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.
Penyelesaian:
a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
Maka n(S) = 8
Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.
A = {GGG}, maka n(A) = 1
n(A) 1
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.
B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
n(B) 3
P(B) = ——— =——
n(S ) 8
Contoh:
Andi mengikuti acara Jalan Santai dengan doorprize 5 buah sepeda motor. Jika jalan santai tersebut diikuti oleh 1000 orang, berapakah peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor?
Penyelesaian:
S = semua peserta jalan santai
maka n(S) = 1000
Misal kejadian Andi mendapatkan motor adalah A.
A = {Motor1, Motor2, Motor3, Motor4, Motor5}
maka n(A) = 5
n(A) 5 1
P(A) = ——— = ——— = ——
n(S ) 1000 200
1
Jadi peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor ——
200
2. Kisaran Nilai Peluang
Untuk mengetahui kisaran nilai peluang, perhatikan soal berikut:
Contoh 18:
Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya
a. Mata dadu 8 b. Mata dadu kurang dari 7
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A
A = { }, n(A) = 0
n(A) 0
P(A) = ——— = — = 0
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu 8 adalah kejadian mustahil, P(A) = 0
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah B
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
n(B) 6
P(B) = ——— = — = 1
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah kejadian pasti, P(A) = 1
Jadi kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1
3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
Fh = n × P(A)
Contoh 19:
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
n(A) 3
Fh(A) = n × P(A) = 240 × —— = 240 × —— = 90 kali
n(S) 8
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Untuk mempelajari peluang komplemen, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:
a. nomor dadu ganjil,
b. nomor dadu tidak ganjil?
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
A adalah kejadian keluar nomor dadu ganjil
A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga
P(A) = n(A)/n(s) = 3/6 = 1/2
b. B adalah kejadian keluar nomor dadu tidak ganjil
B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga
n(B) 3 1
P(B) = ——— =—— = — , Peluang B adalah Peluang komplemen dari A
n(S ) 6 2
Dari contoh tersebut kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:
P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)
Contoh:
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang munculnya paling
sedikit satu angka !
Penyelesaian:
Cara biasa
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A.
A = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA}, maka n(A) = 7
n(A) 7
P(A) = ——— = ——
n(S ) 8
Cara komplemen
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A.
Ac = {GGG}, maka n(Ac) =1
n(Ac) 1
P(Ac) = ——— = ——
n(S ) 8
1 7
P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – —— = ——
8 8
B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga
n(B) 3 1
P(B) = ——— =—— = — , Peluang B adalah Peluang komplemen dari A
n(S ) 6 2
Dari contoh tersebut kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:
P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)
Contoh:
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang munculnya paling
sedikit satu angka !
Penyelesaian:
Cara biasa
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A.
A = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA}, maka n(A) = 7
n(A) 7
P(A) = ——— = ——
n(S ) 8
Cara komplemen
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A.
Ac = {GGG}, maka n(Ac) =1
n(Ac) 1
P(Ac) = ——— = ——
n(S ) 8
1 7
P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – —— = ——
8 8
5. Peluang Kejadian Majemuk
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3
Contoh:
Diambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge, tentukan peluang terambilnya kartu As atau kartu Hati!
Penyelesaian:n(S) = 52 (karena banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
4
P(A) = ——
52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
13
P(B) = ——
52
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan Hati dalam1 set kartu bridge 1)
1
P(A∩B) = ——
52
4 13 1 16
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = —— + —— – — = ——
52 52 52 52
16
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati adalah ——
52
b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
P (A∪ B) = P(A) + P(B)
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
= 3/6 + 3/6 = 1
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap adalah 1
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola kuning dan 1 bola biru. Akan diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola merah atau bola kuning!
Penyelesaian:
8! 8! 8 . 7!
n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8
1!(8- 1)! 1 . 7! 7!
Misal kejadian terambilnya kelereng merah adalah A, maka:
5! 5! n(A) 5
n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = ——
1!(5 - 1)! 4! n(S) 8
Misal kejadian terambilnya kelereng kuning adalah B, maka:
2! 2! n(B) 2
n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = ——
1!(2 - 1)! 1! n(S) 8
A∩B = {} (Kejadian saling lepas)
5 2 7
P(A∪ B) = P(A) + P(B) = —— + —— = ——
8 8 8 7
Jadi peluang terambilnya bola merah atau bola kuning ——
8
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Coba kamu pelajari contoh berikut untuk lebih memahami tentang kejadian saling bebas.
Contoh:
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua!
Penyelesaian:
Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini adalah dua kejadian yang saling bebas
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, maka:
6 1
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6 P(A) = —— = ——
36 6
Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, maka:
6 1
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6 P(B) = —— = ——
36 6
1 1 1
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
6 6 36
Jadi peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
1
pada dadu kedua = ——
36
Contoh:Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!
Penyelesaian:Kotak A
8! 8! 8 . 7!
n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8
1!(8- 1)! 1 . 7! 7!
Misal kejadian terambilnya bola merah dari kotak A adalah A, maka:
5! 5! n(A) 5
n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = ——
1!(5 - 1)! 4! n(S) 8
Kotak B
7! 7! 7 . 6!
n(S) = 7C1 = ———— = ———— = ——— = 7
1!(7- 1)! 1 . 6! 6!
Misal kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B adalah B, maka:
2! 2! n(B) 2
n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = ——
1!(2 - 1)! 1! n(S) 7
5 2 5
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
8 7 28
6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
P(B)
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
P(A)
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, maka:
n(A) 5
P(A) = ——— = ——
n(S) 8
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, maka:
n(B/A) 4
P(B/A) = ——— = ——
n(S) 7
5 4 5
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) = —— × —— = ——
8 7 14
Demikianlah sedikit uraian materi tentang rumus-rumus peluang. Anda
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3
Contoh:
Diambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge, tentukan peluang terambilnya kartu As atau kartu Hati!
Penyelesaian:n(S) = 52 (karena banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
4
P(A) = ——
52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
13
P(B) = ——
52
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan Hati dalam1 set kartu bridge 1)
1
P(A∩B) = ——
52
4 13 1 16
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = —— + —— – — = ——
52 52 52 52
16
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati adalah ——
52
b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
P (A∪ B) = P(A) + P(B)
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
= 3/6 + 3/6 = 1
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap adalah 1
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola kuning dan 1 bola biru. Akan diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola merah atau bola kuning!
Penyelesaian:
8! 8! 8 . 7!
n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8
1!(8- 1)! 1 . 7! 7!
Misal kejadian terambilnya kelereng merah adalah A, maka:
5! 5! n(A) 5
n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = ——
1!(5 - 1)! 4! n(S) 8
Misal kejadian terambilnya kelereng kuning adalah B, maka:
2! 2! n(B) 2
n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = ——
1!(2 - 1)! 1! n(S) 8
A∩B = {} (Kejadian saling lepas)
5 2 7
P(A∪ B) = P(A) + P(B) = —— + —— = ——
8 8 8 7
Jadi peluang terambilnya bola merah atau bola kuning ——
8
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Coba kamu pelajari contoh berikut untuk lebih memahami tentang kejadian saling bebas.
Contoh:
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua!
Penyelesaian:
Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini adalah dua kejadian yang saling bebas
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, maka:
6 1
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6 P(A) = —— = ——
36 6
Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, maka:
6 1
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6 P(B) = —— = ——
36 6
1 1 1
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
6 6 36
Jadi peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
1
pada dadu kedua = ——
36
Contoh:Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!
Penyelesaian:Kotak A
8! 8! 8 . 7!
n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8
1!(8- 1)! 1 . 7! 7!
Misal kejadian terambilnya bola merah dari kotak A adalah A, maka:
5! 5! n(A) 5
n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = ——
1!(5 - 1)! 4! n(S) 8
Kotak B
7! 7! 7 . 6!
n(S) = 7C1 = ———— = ———— = ——— = 7
1!(7- 1)! 1 . 6! 6!
Misal kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B adalah B, maka:
2! 2! n(B) 2
n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = ——
1!(2 - 1)! 1! n(S) 7
5 2 5
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
8 7 28
6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
P(B)
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
P(A)
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, maka:
n(A) 5
P(A) = ——— = ——
n(S) 8
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, maka:
n(B/A) 4
P(B/A) = ——— = ——
n(S) 7
5 4 5
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) = —— × —— = ——
8 7 14
Demikianlah sedikit uraian materi tentang rumus-rumus peluang. Anda
0 Komentar