cara cepat belajar Vektor matematika SMA kelas XII

Pengertian Vektor

Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Notasi umum yang dipakai dalam penulisan suatu vektor PQ adalah , atau a.
Suatu vektor dalam bidang 2-D seperti pada gambar diatas memiliki komponen , sedangkan pada vektor dalam bidang 3-D memiliki komponen . Sehingga memiliki vektor posisi sebagai berikut.

• Pada 2-D →  =  = 
• Pada 3-D →  =  -  = 

Sebuah vektor A juga memiliki panjang vektor yang dapat dituliskan dengan notasi ||.

• Pada 2-D →  =  =  dan || = 
• Pada 3-D →  =  -  =  dan || = 

Vektor satuan a adalah :     

Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor

Dalam melakukan operasi penjumlahan maupun pengurangan pada vektor, dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu menggunakan aturan segitiga dan aturan jajargenjang.

• Aturan Segitiga

Pada aturan segitiga ini dilakukan dengan cara menggeser dan menghimpitkan titik pangkal vektor   dengan titik ujung vektor . Kemudian pada titik pangkal vektor  dihubungkan dengan titik ujung pada vektor  sehingga diperoleh garis baru yaitu vektor , dimana vektor  merupakan hasil penjumlahan  dan .

         

• Aturan jajargenjang

    

Pada aturan jajargenjang, dilakukan dengan cara menggeser vektor  sehingga titik pangkal vektor  dan vektor  saling berhimpit. Selanjutnya membuat garis bantu yang sejajar dengan vektor  dan vektor  sehingga membentuk sebuah jajargenjang. Kemudian buat garis diagonal pada jajargenjang tersebut. Garis diagonal inilah yang menjadi vektor  =  + .

Dalam operasi penjumlahan dan pengurangan vektor, jika dibuat dalam bentuk matriks maka dapat dinyatakan sebagai berikut.

• Pada vektor 2-D (R²)

 ±  =  ±  = 

Sehingga dapat dituliskan :

 ±  = (a₁,a₂) ± (b₁,b₂) = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂)

• Pada vektor 3-D (R³)

 ±  =  ±  = 

Sehingga dapat dituliskan :

 ±  = (a₁,a₂,a₃) ± (b₁,b₂,b₃) = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂, a₃ ± b₃)

Perkalian Skalar dengan Vektor

Jika k merupakan suatu bilangan real dan dikalikan dengan vektor , maka diperoleh :

 =  = 

Dalam operasi perkalian skalar dengan vektor, jika k>0 maka vektor  searah dengan  vektor . Dan jika k<0 maka vektor  berlawanan dengan  vektor .

Sifat - Sifat Operasi Hitung dalam Vektor

•  +   =   + 
• ( + ) +   =   + ( + )
•  + 0  =  0 +   =  
•  + (-)  =  0
• k()  =  (kl) 
• k( + )  =  ± 
• (k ± l)  =  ± 

Contoh :
1. Diketahui vektor  = (-1, 2, 3),   = (-2, 0, 1) dan  = (3, -1, -2). Hitunglah :
   a. 2 + 
   b. 3 - 2 + 4
Jawab :
a. 2 +  = 2 +  =  +  = 
    Jadi 2 +  = (-4, 4, 5)
b. 3 - 2 + 4 = 3 - 2 + 

=  -  + 

= 

   Jadi 3 - 2 + 4 = (13, 2, 3)

2. Buktikan bahwa vektor  = (-3, 0, 6) sejajar dengan vektor  = (1, 0, -2).
Jawab :

Agar dapat membuktikan bahwa vektor  = (-3, 0, 6) sejajar dengan vektor  = (1, 0, -2), maka harus mencari k(bilangan real) sehingga  = k

 = k       →    - k = 0

(-3, 0, 6) - k(1, 0, -2) = (0, 0, 0)

(-3, 0, 6) - (k, 0, 2k) = (0, 0, 0)

(-3 - k, 0, 6 + 2k) = (0, 0, 0)

Diperoleh k = 3 sehingga vektor  = 3

Jadi, vektor  = (-3, 0, 6) sejajar dengan vektor  = (1, 0, -2)