Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma

Grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dapat dibedakan menjadi dua, yaitu :
1.  Untuk 0 < a < 1
Dari grafik fungsi (x) =  dan g(x) =  yang masing – masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok .
Fungsi (x) = (a)x
    • Daerah asalnya {x|x  R}
    • Daerah hasilnya {y|y > 0, y  R}
    • Sumbu-x asimtot datar
    • Grafik di atas sumbu-x
    • Memotong sumbu-y di titik (0,1)
    • Merupakan fungsi turun untuk setiap x
Fungsi g(x) = alog x
    • Daerah asalnya {x|x  > 0, x  R}
    • Daerah hasilnya {y|y  R}
    • Sumbu-y asimtot tegak
    • Grafik di sebelah kanan sumbu-y
    • Memotong sumbu-x di titik (1,0)
    • Merupakan fungsi turun untuk setiap x
2.  Untuk a > 1
Dari grafik fungsi (x) = 2x  dan g(x) = 2log x yang masing – masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 2.
Fungsi (x) = (a)x
    • Daerah asalnya {x|x  R}
    • Daerah hasilnya {y|y > 0, y  R}
    • Sumbu-x asimtot datar
    • Grafik di atas sumbu-x
    • Memotong sumbu-y di titik (0,1)
    • Merupakan fungsi naik untuk setiap x
Fungsi g(x) = alog x
    • Daerah asalnya {x|x  > 0, x  R}
    • Daerah hasilnya {y|y  R}
    • Sumbu-y asimtot tegak
    • Grafik di sebelah kanan sumbu-y
    • Memotong sumbu-x di titik (1,0)
    • Merupakan fungsi naik untuk setiap x

Contoh :
   Gambarlah grafik fungsi y = 3x
Jawab :
   
   

Sifat - Sifat Fungsi Eksponen

Jika a dan b bilangan real (a ≠ 0, b ≠ 0), m dan n bilangan rasional maka berlaku sifat – sifat berikut :
  • am . an = am+n
  •  = am-n
  • (am)n = amn
  • a-m = 
  • (am . bn)p = amp . bnp
  •  = 
  •  =  = 
  • ao = 1

Contoh :
   Sederhanakanlah persamaan berikut (2x3 . y-5) (-2x-9 . y9)
Jawab :
  (2x3 . y-5) (-2x-9 . y9) = (2x3) (-2x-9) (y-5) (y9)
= (2) (-2) x3 . x-9 . y-5 . y9
= -4 . x3-9 . y-5+9
= -4x-6 . y4
= 

 

Persamaan Eksponen

Berikut ini adalah beberapa bentuk penyelesaian persamaan eksponen :
  • Jika af(x) = ap,  a > 0 dan a ≠ 1, maka (x) = p
  • Jika af(x) = ag(x),  a > 0 dan a ≠ 1, maka (x) = g(x)
  • Jika af(x) =bf(x) , a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 dan a ≠ b maka (x) =0
  • Jika (x)g(x)=(x)h(x), maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut :
    1. g(x) = h(x)
    2. (x) = 1
    3. (x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
    4. (x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  • Jika A (af(x))2 + B . af(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, A,B,C  R, A ≠ 0
Pada bentuk persamaan ini misalkan y = af(x), sehingga diperoleh nilai x.
  • Jika ((x))g(x) = 1
Pada bentuk persamaan ini ada beberapa ketentuan yang diantaranya :
    1. Bilangan pokok = 1, dengan syarat eksponen tidak sama dengan tak hingga atau (x)= 1 dan g(x) ≠ ∞.
    2. Bilangan pokok = -1, dengan syarat eksponen genap atau eksponen merupakan bilangan pecahan dengan pembilang adalah bilangan genap dan penyebut bilangan ganjil.
    3. Eksponen = 0, dengan syarat bilangan pokok ≠ 0.

Contoh :
  Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x)2 - 12 . 2x + 32 = 0
Jawab :
  (2x)2 - 12 . 2x + 32 = 0
  Misalkan y = 2x
y2 -12y + 32 = 0
(y - 8) (y - 4) = 0
y = 8    |    y = 4
  • Untuk y = 8
y = 2x
8 = 2x
23 = 2x
x = 3
  • Untuk y = 4
y = 2x
4 = 2x
22 = 2x
x = 2
Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 dan x = 3

Pertidaksamaan Eksponen

Dalam pertidaksamaan eksponen, sifat – sifat yang digunakan diantaranya :
  • Untuk a > 1, fungsi (x) = axmerupakan fungsi naik. Hal ini berarti, pada x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) <(x2).
  • Untuk 0 < a < 1, (x) = axmerupakan fungsi turun. Hal ini berarti, pada x1, x2  R berlaku x1 < x2jika dan hanya jika (x1) >(x2).

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
5-2x+2 + 74 . (5-x) - 3 ≥ 0
Jawab :
5-2x+2 + 74 . (5-x) - 3 ≥ 0
52 (5-2x) + 74 . (5-x) - 3 ≥ 0
25 (5-x)2 + 74 . (5-x) - 3 ≥ 0
Misalkan y = 5-x
25y2 + 74y - 3 ≥ 0
(25y - 1) (y + 3) ≥ 0
y ≤ -3    |   y ≥ 
  • Untuk y ≤ -3
5-x ≤ -3
Tidak ada nilai x yang memenuhi
  • Untuk y ≥ 
5-x ≥ 
5-x ≥ 5-2 
x ≤ 2
Jadi penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Sifat - Sifat Fungsi Logaritma

Secara umum bentuk logaritma dapat dituliskan sebagai berikut :
ab = c  ↔  alog c = b
dengan a > 0 dan a ≠ 1

Berikut ini adalah sifat – sifat dari fungsi logaritma :
  • alog 1 = 0
  • alog a = 1
  • alog an =  n
  • alog b + alog c = alog (b . c)
  • alog b - alog c = alog 
  • alog bm = m . alog b
  •  = alog b
  • alog b = 
  •  = 
  •  = b
  • blog a =

    Persamaan Logaritma

    Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau bilangan pokok dari suatu logaritma.
    Misal :
    2log (x + 8) + 2log (x + 1) - 2log (x + 56) = 0
    Pada persamaan tersebut, merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel x. Nilai x yang menjadi anggota himpunan penyelesaian persamaan logaritma adalah nilai x yang menyebabkan :
  • Numerus pada persamaan semula positif.
  • Bilangan pokok logaritma pada persamaan semula positif dan tidak sama dengan satu.

Berikut ini adalah bentuk – bentuk persamaan logaritma yang diantaranya :
  • Jika alog (x) = alog p,  (x) > 0, maka (x) = m
  • Jika alog(x) = blog(x), a ≠ b, maka (x) = 1
  • Jika alog(x) = alog g(x), a > 0, a ≠ 1,(x) > 0, g(x) > 0, maka (x) = g(x)
  • Jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x), (x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, (x) ≠ 1, maka g(x) ≠ h(x)
  • A plog2 (x) + B plog (x) + C = 0
Pada persamaan ini, misalkan y = plog (x).
  • Jika f(x)log a = g(x)log a, (x) > 0, g(x) > 0, (x) ≠ 1, g(x) ≠ 1, maka (x) = g(x)
  • Jika f(x)log g(x) = p, (x) > 0, g(x) > 0, (x) ≠ 1, maka g(x) = ((x))p

Contoh :
  Tentukan himpunan penyelesaian dari :
xlog (2x2 + 11x - 6) = xlog (x2 + 10x)
Jawab :
xlog (2x2 + 11x - 6) = xlog (x2 + 10x)
2x2 + 11x - 6 = x2 + 10x
x2 + x - 6 = 0
(x - 2) (x + 3) = 0
x = 2   |   x = -3
  • Untuk x = -3
g(x) = 2x2 + 11x - 6
= 2 (-3) + 11 (-3) - 6
= -21
h(x) = x2 + 10x
= (-3)2 + 10(-3)
= -21
(untuk x = -3 tidak memenuhi syarat, karena g(x) dan h(x) harus lebih besar dari 0)

  • Untuk x = 2
g(x) = 2x2 + 11x - 6
= 2 (2)2 + 11 (2) - 6
= 24
h(x) = x2 + 10x
= (2)2 + 10(2)
= 24
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2}

Pertidaksaman Logaritma

Dalam pertidaksamaan logaritma, sifat – sifat yang digunakan diantaranya :
  • Untuk a > 1, fungsi (x) = alog x merupakan fungsi naik. Hal ini berarti, pada x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) < (x2).
  • Untuk 0 < a < 1, (x) = alog x merupakan fungsi turun. Hal ini berarti, pada x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) > (x2).

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut :
(2log x)2 - 3 2log x + 1 ≥ 2log x - 2
Jawab :
(i) Penyelesaian pertidaksamaan :
(2log x)2 - 3 2log x + 1 ≥ 2log x - 2
(2log x)2 - 4 2log x + 3 ≥ 0
(2log x - 1) (2log x - 3) ≥ 0
2log x ≤ 1             |       2log x ≥ 3
2log x ≤ 2log 2    |        2log x ≥ 2log 8
x ≤ 2     |      x ≥ 8
Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma (2log x)2 - 3 2log x + 1 ≥ 2log x - 2 adalah 0 < x ≤ 2 atau x ≥ 8